סכום על המספרים הזוגייםאינדוקציה 571 · שיעור 6

אינדוקציה · שאלון 571

שיעור 6: סכום על המספרים הזוגיים

פרק 1 – מהי אינדוקציה והוכחת נוסחת סכום

1נוסח השאלה

2הוכחה באינדוקציה

📄 נוסח השאלה

הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי זוגי מתקיים:

2² + 4² + … + n² = n(n + 1)(n + 2)6

הוכחה באינדוקציה

2² + 4² + … + n² = n(n + 1)(n + 2)6

הטענה היא רק על מספרים זוגיים: n = 2, 4, 6, …. לכן הבסיס הוא n = 2, והצעד הוא מ־k אל המספר הזוגי הבא k + 2.

שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 2

📐 אינדוקציה על המספרים הזוגיים

אגף שמאל: איבר אחד, 2² = 4.

אגף ימין:

2 · 3 · 46 = 246 = 4 ✓

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k זוגי כלשהו:

2² + 4² + … + k² = k(k + 1)(k + 2)6

📐 אינדוקציה על המספרים הזוגיים

1. בסיס: בדיקה בעבור n = 2
2. הנחה: נכון בעבור n = k זוגי
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 2
4. מסקנה: נכון לכל n זוגי

הוכחה באינדוקציה · המשך

2² + 4² + … + n² = n(n + 1)(n + 2)6

2² + 4² + … + k² = k(k + 1)(k + 2)6

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 2

צ״ל: 2² + 4² + … + k² + (k + 2)² = (k + 2)(k + 3)(k + 4)6

נציב במקום 2² + 4² + … + k² את k(k + 1)(k + 2)6:

📐 הנחת האינדוקציה

צ״ל: k(k + 1)(k + 2)6 + (k + 2)² = (k + 2)(k + 3)(k + 4)6

📐 הנחת האינדוקציה

2² + 4² + … + k² = k(k + 1)(k + 2)6

הוכחה באינדוקציה · המשך

2² + 4² + … + n² = n(n + 1)(n + 2)6

צ״ל: k(k + 1)(k + 2)6 + (k + 2)² = (k + 2)(k + 3)(k + 4)6

בשני המחוברים יש (k + 2). נוציא אותו כגורם משותף:

📐 הוצאת גורם משותף

k(k + 1)(k + 2)6 + (k + 2)² = (k + 2) · [k(k + 1)6 + (k + 2)]

בתוך הסוגריים נעשה מכנה משותף 6:

📐 מכנה משותף

= (k + 2) · [k(k + 1)6 + 6(k + 2)6]

= (k + 2) · k² + k + 6k + 126

= (k + 2) · k² + 7k + 126

📐 הוצאת גורם משותף

ab + ac = a(b + c)

📐 מכנה משותף

a6 + b = a6 + 6b6 = a + 6b6

הוכחה באינדוקציה · המשך

2² + 4² + … + n² = n(n + 1)(n + 2)6

= (k + 2) · k² + 7k + 126

נפרק את המונה לגורמים, ונבדוק בפתיחת סוגריים:

📐 פתיחת סוגריים

k² + 7k + 12 = (k + 3)(k + 4)

= (k + 2) · (k + 3)(k + 4)6 = (k + 2)(k + 3)(k + 4)6 ✓

קיבלנו בדיוק את מה שצריך להוכיח, ולכן הטענה נכונה בעבור n = k + 2.

שלב 4 – מסקנה:

הטענה נכונה בעבור n = 2, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k זוגי אז היא נכונה גם בעבור n = k + 2. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי זוגי.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

📐 פתיחת סוגריים

(k + 3)(k + 4) = k² + 7k + 12

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא